Jelena sinh tại Riga, Latvia. Cha cô, ông Jevgenijs Ostapenko là một cựu cầu thủ bóng đá chuyên nghiệp. Ông từng chơi cho FC Metalurh Zaporizhya.[5] Mẹ cô là bà Jelena Jakovleva, bà chính là người giới thiệu Ostapenko tới với quần vợt. Ostapenko có một anh trai cùng cha khác mẹ, Maksim, hiện đang sống tại Hoa Kỳ. Ostapenko cũng biết khiêu vũ. Cô từng giành quyền tham dự Giải khiêu vũ quốc gia Latvia. Sau đó, một chấn thương bàn chân đã cướp đi sự nghiệp khiêu vũ của cô. Năm 12 tuổi, cô mới thực sự chuyên tâm chơi quần vợt.[6] Ostapenko thần tượng Serena Williams từ nhỏ. Cô nói tiếng Latvia, tiếng Nga, và tiếng Anhh.[7][8]

Tên khai sinh hợp pháp của cô là Jeļena, nhưng gia đình và bạn bè thường gọi cô với tên thân mật là Aļona. Khi cô ra đời, cha mẹ cô muốn đặt tên cô là Aļona, tuy nhiên cái tên này không có trong lịch đặt tên Latvia, vì vậy cô được đặt tên là Jeļena giống như mẹ cô.[9] Mặc dù vậy chính quyền Latvia hiện khẳng định không có sự giới hạn nào trong việc đặt tên con cái ở Latvia.[10] Người hâm mộ Latvia và khu vực Đông Âu cũng luôn gọi cô là Aļona, và chỉ bắt đầu được người hâm mộ quần vợt phương Tây biết tới từ năm 2017.[9] Cô sử dụng tên khai sinh để tránh rắc rối về hành chính.[11]